تمهيدٌ موجز، لكنه ضروري
للأسف عليك بالفعل قراءة هذا التمهيد في البداية حتى تتمكَّن من فَهم خصائص بِنيوية مُعينة، وأجزاء مما قد يبدو ترميزًا في النص الأساسي. ومن صور هذا الترميز الاختصار «م. إ.» الذي ستجده كثيرًا في الكتاب. عليك أن تعلم أن هذا ليس لازمةً أو خطأً مطبعيًّا، لكنها الأحرُف الأولى من عبارة «معلومة إضافية» التي استُخدِمَت مرارًا وتَكرارًا في المسوَّدات الأولية، حتى إنها تحوَّلت، في نهاية المطاف، نظرًا إلى كثرة تَكرارها، من عبارةٍ لُغوية عادية كتقدِمة لجملة، إلى رمزٍ مجرد خارج النص، «م. إ.»، يعمل على تصنيف أجزاء مُعينة من النص بطريقةٍ محدَّدة سأشرحُها وأُوضحها الآن.
كغيره من كتيبات سلسلة «اكتشافات عظيمة»، يُعَد هذا الكُتيب واحدًا من المؤلَّفات المتخصصة التي كُتِبَت باللغة الرائجة. وموضوعُ الكتاب مجموعة من الإنجازات الرياضية الشديدة التجريد والتخصُّص، التي تتَّسم بقدرٍ كبير من العمق والإثارة والجمال في الوقت نفسِه. والهدف هو مناقشة هذه الإنجازات بطريقةٍ جذابة ومفهومةٍ للقرَّاء الذين ليست لديهم خلفياتٌ أو خبرات مُتخصصة في مجال الرياضيات. إذن الهدف هو إضفاءُ الجمال على الرياضيات، أو على الأقل مساعدة القارئ على إدراك حقيقة أنَّ الرياضيات مادة جميلة. كل هذا يبدو جيدًا للغاية، بطبيعة الحال، باستثناء أن هناك عقدةً بسيطة: كيف يُمكنك أن تجعل عَرضك المادةَ العلمية مُتخصِّصًا دون أن ينصرِف عنك ذِهنُ القارئ ودون أن تُغرِقه في كمٍّ هائل من التعريفات والتعليقات الجانبية؟ إضافةً إلى ذلك، إذا افترضتَ أن بعض القراء لديهم خلفية مُتخصِّصة أقوى من غيرهم بكثير، وهو أمر مُستحسَن، فكيف يُمكن تناول الموضوع بطريقة يَسهُل على المُبتدئين استيعابُها دون أن تكون مُملًّا أو مزعجًا بالنسبة إلى شخصٍ حصل على جانبٍ كبير من دراسة الرياضيات في الجامعة؟
تُوجَد أيضًا اختصاراتٌ أخرى في هذا الكتيب، بعضُها يقتصر الغرَض منه على تقليل المساحة فحسْب، والبعض الآخر هو نِتاج مشكلةٍ أسلوبية غريبة في الكتابة التقنية، وهي استخدام الكلمات نفسِها مرارًا وتكرارًا بطريقةٍ تجعلها غيرَ ملائمة على نحوٍ مزعج في النثر العادي؛ الفكرة هي أن بعض الكلمات التقنية لها دلالاتٌ مُحدَّدة للغاية، لا يُمكن أن تتوفَّر في أي مرادفٍ لفظي، وهو ما يعني أن الاختصارات — لا سيَّما فيما يخصُّ بعض أسماء الأعلام في مجال التكنولوجيا المتطورة — هي الطريقة الوحيدة لتحقيق أي شكلٍ من التنويع. وفي الواقع، لا دخلَ لك بأيٍّ من ذلك. وعمومًا، إليك قائمة بالمصطلحات الرئيسية التي يُمكن استعراضُها والرجوع إليها عند الضرورة، وهذه المصطلحات هي ما تضمَّنتها قائمةُ الاختصارات في النسخة الإنجليزية:
تناظُر أُحادي | One-to-One Correspondence |
مُسلَّمة الاختيار | Axiom of Choice |
نظرية المجموعات البديهية | Axiomatic Set Theory |
نظرية فورييه التحليلية للحرارة | Fourier’s Analytic Theory of Heat |
نظرية ذات الحَدَّيْن | Binomial Theorem |
نظرية بولزانو — فايرشتراس | Bolzano-Weierstrass Theorem |
«الاتصال والأعداد غير النسبية» لديديكند | Dedekind’s “Continuity and Irrational Numbers” |
فرضية الاتصال | Continuum Hypothesis |
حاصل الضرب الديكارتي | Cartesian Product |
الأخوية الدينية الفيثاغورية، أو اختصارًا «الفيثاغورية» | Divine Brotherhood of Pythagoras |
المعادلة التفاضُلية | Differential Equation |
البرهان القُطري | Diagonal Proof |
نظرية فايرشتراس للقيم القُصوى | Weierstrass’s Extreme Values Theorem |
النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل | Fundamental Theorem of the Calculus |
المسألة العامة لتقارُب متسلسلة فورييه | General Convergence Problem of Fourier Series |
مبدأ التجريد المحدود | Limited Abstraction Principle |
قانون الوسط المُستبعَد (الثالث المرفوع) | Law of the Excluded Middle |
نيوتن ولايبنتس | Newton and Leibniz |
خط الأعداد | Number Line |
نظرية المجموعات المُبسَّطة | Naive Set Theory |
حُجة «الواحد والمُتعدد» لأفلاطون | Plato’s One Over Many argument |
مبدأ الاستقراء | Principle of Induction |
مفارقات اللانهائي لبولزانو | Bolzano’s Paradoxes of the Infinite |
مُسلَّمة مجموعة القوى | Power Set Axiom |
نظرية فيثاغورس | Pythagorean Theorem |
خط الأعداد الحقيقية | Real Line |
كتاب «عِلمان جديدان» لجاليليو | Galileo’s Two New Sciences |
مبدأ التجريد المحدود | Unlimited Abstraction Principle |
مُبرهنة الوحدانية | Uniqueness Theorem |
حلقة مُفْرَغة | Vicious Circle |
الارتداد اللانهائي المُنافي للمنطق | Vicious Infinite Regress |
نظام مسلَّمات فون نويمان-بيرنايز لنظرية المجموعات | Von Neumann-Bernays system of axioms for set theory |
مسألة الوتر المُهتَز | Vibrating String Problem |
معادلة مَوجية | Wave Equation |
نظام مُسلَّمات تسيرميلو-فرانكل-سكوليم لنظرية المجموعات | Zermelo-Fraenkel-Skolem system of axioms for set theory |
مفارقة زينون | Zeno’s Paradox |